25．高斯坐标
按照高斯的论述，这种分析方法与几何方法结合起来的处理问题的方式可由下述途径达成，设想我们在桌面上画一个任意曲线系（见图４）。
我们把这些曲线称作ｕ曲线，并用一个数来标明每一根曲线，在图中画出了曲线ｕ＝１，ｕ＝２和ｕ＝３，我们必须设想在曲线ｕ＝１，ｕ＝２之间画有无限多根曲线，所有这些曲线对应于１和２之间的实数，这样我们就有一个ｕ曲线系，而且这个“无限稠密”曲线系布满了整个桌面，这些ｕ曲线必须彼此不相交，并且桌面上的每一点都必须有一根而且仅有一根曲线通过。因此大理石板面上的每一个点都具有一个完全确定的ｕ值。我们设想以同样的方式在这个石板面上画一个ｖ曲线系。这些曲线所满足的条件与ｕ曲线相同，并以相应的方式标以数字，而且它们也同样可以具有任意的形状，因此，桌面上的每一点就有一个ｕ值和一个ｖ值。我们把这两个数称为桌面的坐标（高斯坐标），例如图中的Ｐ点就有高斯坐标ｕ＝３，ｖ＝１。这样，桌面上相邻两点Ｐ和Ｐ’就对应于坐标：
Ｐ：ｕ，ｖ；
Ｐ’：ｕ＋ｄｕ，ｖ＋ｄｖ。
其中ｄｕ和ｄｖ标记很小的数。同样，我们可以用一个很小的数ｄｓ表示Ｐ和Ｐ’之间的距离（线间隔），好象用一根小杆测量得出的一样。于是，按照高斯的论述，我们就有：
其中ｇ１１，ｇ１２，ｇ２２是以完全确定的方式取决于ｕ和ｖ的量。量ｇ１１，ｇ１２，ｇ２２决定小杆相对于ｕ曲线和ｖ曲线的行为，因而也就决定小杆相对于桌面的行为。对于所考虑的面上的诸点相对于量杆构成一个欧几里得连续区的情况，而且只有在这个情况下，我们才能够简单地按下式来画出以及用数字标出ｕ曲线和ｖ曲线：
在这样的条件下，ｕ曲线和ｖ曲线就是欧几里得几何学中的直线，并且它们是相互垂直的。在这里，高斯坐标也就成为笛卡儿坐标。显然，高斯坐标只不过是两组数与所考虑的面上的诸点的一种缔合，这种缔合具有这样的性质，即彼此相差很微小的数值各与“空间中”相邻诸点相缔合。
到目前为止，这些论述对于二维连续区是成立的。但是高斯的方法也可以应用到三维、四维或维数更多的连续区。例如，如果假定我们有一个四维连续区，我们就可以用下述方法来表示这个连续区，对于这个连续区的每一个点，我们任意地把四个数ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４与之相缔合，这四个数就称为“坐标”。相邻的点对应于相邻的坐标值。如果距离ｄｓ与相邻点Ｐ和Ｐ’相缔合，而且从物理的观点来看这个距离是可以测量的和明确规定了的，那么下述公式成立：
其中ｇ１１等量的值随连续区中的位置而变。唯有当这个连续区是一个欧几里得连续区时才有可能将坐标ｘ１ｘ４与这个连续区的点简单地缔合起来，使得我们有：
在这个情况下，与那些适用于我们的三维测量的关系相似的一些关系就能够适用于这个四维连续区。
但是我们在上面提出的表达ｄｓ２的高 斯 方法并不是经常可能的，只有当所考虑的连续区的各个足够小的区域被当作是欧几里得连续区时，这种方法才有可能。例如，就大理石桌面和局部温度变化的例子而言，这一点显然是成立的。对于石板的一小部分面积而言，温度在实际上可视为恒量；因而小杆的几何行为差不多能够符合欧几里得几何学的法则。因此，前节所述正方形作图法的缺陷要到这个作图扩展到了占桌面相当大的一部分时才会明显地表现出来。
我们可以对此总结如下：高 斯 发明了对一般连续区作数学表述的方法，在表述中下了“大小关系”（邻点间的“距离”）的定义。对于一个连续区的每一个点可标以若干个数（高斯坐标），这个连续区有多少维，就标多少个数。这是这样来做的：每个点上所标的数只可能有一个意义，并且相邻诸点应该用彼此相差一个无穷小量的数（高斯坐标）来标出。高斯坐标系是笛卡儿坐标系的一个逻辑推广。高斯坐标系也可以适用于非欧几里得连续区，但是只有在下述情况下才可以，即相对于既定的“大小”或“距离“的定义而言，我们所考虑的连续区的各个小的部分愈小，其表现就愈象一个真正的欧几里得系统。